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处理数字是 Common Lisp 的强项之一。Common Lisp 有着丰富的数值类型，而 Common Lisp 操作数字的特性与其他语言比起来更受人喜爱。
9.1 类型 (Types)
9.2 转换及取出 (Conversion and Extraction)
9.3 比较 (Comparison)
9.4 算术 (Arithematic)
9.5 指数 (Exponentiation)
9.6 三角函数 (Trigometric Functions)
9.7 表示法 (Representations)
9.8 范例：追踪光线 (Example: Ray-Tracing)
Chapter 9 总结 (Summary)
Chapter 9 练习 (Exercises)
9.1 类型 (Types)
Common Lisp 提供了四种不同类型的数字：整数、浮点数、比值与复数。本章所讲述的函数适用于所有类型的数字。有几个不能用在复数的函数会特别说明。
整数写成一串数字：如 2001 。浮点数是可以写成一串包含小数点的数字，如 253.72 ，或是用科学表示法，如 2.5372e2 。比值是写成由整数组成的分数：如 2/3 。而复数 a+bi 写成 #c(a b) ，其中 a 与 b 是任两个类型相同的实数。
谓词 integerp 、 floatp 以及 complexp 针对相应的数字类型返回真。图 9.1 展示了数值类型的层级。
../_images/Figure-9.1.png
图 9.1: 数值类型
要决定计算过程会返回何种数字，以下是某些通用的经验法则：
如果数值函数接受一个或多个浮点数作为参数，则返回值会是浮点数 (或是由浮点数组成的复数)。所以 (+ 1.0 2) 求值为 3.0，而 (+ #c(0 1.0) 2) 求值为 #c(2.0 1.0) 。
可约分的比值会被转换成最简分数。所以 (/ 10 2) 会返回 5 。
若计算过程中复数的虚部变成 0 时，则复数会被转成实数 。所以 (+ #c(1 -1) #c(2 1)) 求值成 3 。
第二、第三个规则可以在读入参数时直接应用，所以：
> (list (ratiop 2/2) (complexp #c(1 0)))
(NIL NIL)
9.2 转换及取出 (Conversion and Extraction)
Lisp 提供四种不同类型的数字的转换及取出位数的函数。函数 float 将任何实数转换成浮点数:
> (mapcar #'float '(1 2/3 .5))
(1.0 0.6666667 0.5)
将数字转成整数未必需要转换，因为它可能牵涉到某些资讯的丧失。函数 truncate 返回任何实数的整数部分:
> (truncate 1.3)
1
0.29999995
第二个返回值 0.29999995 是传入的参数减去第一个返回值。(会有 0.00000005 的误差是因为浮点数的计算本身就不精确。)
函数 floor 与 ceiling 以及 round 也从它们的参数中导出整数。使用 floor 返回小于等于其参数的最大整数，而 ceiling 返回大于或等于其参数的最小整数，我们可以将 mirror? (46 页，译注: 3.11 节)改成可以找出所有回文（palindromes）的版本:
(defun palindrome? (x)
(let ((mid (/ (length x) 2)))
(equal (subseq x 0 (floor mid))
(reverse (subseq x (ceiling mid))))))
和 truncate 一样， floor 与 ceiling 也返回传入参数与第一个返回值的差，作为第二个返回值。
> (floor 1.5)
1
0.5
实际上，我们可以把 truncate 想成是这样定义的:
(defun our-truncate (n)
(if (> n 0)
(floor n)
(ceiling n)))
函数 round 返回最接近其参数的整数。当参数与两个整数的距离相等时， Common Lisp 和很多程序语言一样，不会往上取（round up）整数。而是取最近的偶数：
> (mapcar #'round '(-2.5 -1.5 1.5 2.5))
(-2 -2 2 2)
在某些数值应用中这是好事，因为舍入误差（rounding error）通常会互相抵消。但要是用户期望你的程序将某些值取整数时，你必须自己提供这个功能。 [1] 与其他的函数一样， round 返回传入参数与第一个返回值的差，作为第二个返回值。
函数 mod 仅返回 floor 返回的第二个返回值；而 rem 返回 truncate 返回的第二个返回值。我们在 94 页（译注： 5.7 节）曾使用mod 来决定一个数是否可被另一个整除，以及 127 页（译注： 7.4 节）用来找出环状缓冲区（ring buffer）中，元素实际的位置。
关于实数，函数 signum 返回 1 、 0 或 -1 ，取决于它的参数是正数、零或负数。函数 abs 返回其参数的绝对值。因此 (* (absx) (signum x)) 等于 x 。
> (mapcar #'signum '(-2 -0.0 0.0 0 .5 3))
(-1 -0.0 0.0 0 1.0 1)
在某些应用里， -0.0 可能自成一格（in its own right），如上所示。实际上功能上几乎没有差别，因为数值 -0.0 与 0.0 有着一样的行为。
比值与复数概念上是两部分的结构。(译注：像 Cons 这样的两部分结构) 函数 numerator 与 denominator 返回比值或整数的分子与分母。（如果数字是整数，前者返回该数，而后者返回 1 。）函数 realpart 与 imgpart 返回任何数字的实数与虚数部分。（如果数字不是复数，前者返回该数字，后者返回 0 。）
函数 random 接受一个整数或浮点数。这样形式的表达式 (random n) ，会返回一个大于等于 0 并小于 n 的数字，并有着与 n 相同的类型。
9.3 比较 (Comparison)
谓词 = 比较其参数，当数值上相等时 ── 即两者的差为零时，返回真。
> (= 1 1.0)
T
> (eql 1 1.0)
NIL
= 比起 eql 来得宽松，但参数的类型需一致。
用来比较数字的谓词为 < （小于）、 <= （小于等于）、 = （等于）、 >= （大于等于）、 > (大于) 以及 /= （不相等）。以上所有皆接受一个或多个参数。只有一个参数时，它们全返回真。
(<= w x y z)
等同于二元操作符的结合（conjunction），应用至每一对参数上:
(and (<= w x) (<= x y) (<= y z))
由于 /= 若它的两个参数不等于时会返回真，表达式
(/= w x y z)
等同于
(and (/= w x) (/= w y) (/= w z)
(/= x y) (/= y z) (/= y z))
特殊的谓词 zerop 、 plusp 与 minusp 接受一个参数，分别于参数 = 、 > 、 < 零时，返回真。虽然 -0.0 （如果实现有使用它）前面有个负号，但它 = 零，
> (list (minusp -0.0) (zerop -0.0))
(NIL T)
因此对 -0.0 使用 zerop ，而不是 minusp 。
谓词 oddp 与 evenp 只能用在整数。前者只对奇数返回真，后者只对偶数返回真。
本节定义的谓词中，只有 = 、 /= 与 zerop 可以用在复数。
函数 max 与 min 分别返回其参数的最大值与最小值。两者至少需要给一个参数:
> (list (max 1 2 3 4 5) (min 1 2 3 4 5))
(5 1)
如果参数含有浮点数的话，结果的类型取决于各家实现。
9.4 算术 (Arithematic)
用来做加减的函数是 + 与 - 。两者皆接受任何数量的参数，包括没有参数，在没有参数的情况下返回 0 。（译注: - 在没有参数的情况下会报错，至少要一个参数）一个这样形式的表达式 (- n) 返回 -n 。一个这样形式的表达式
(- x y z)
等同于
(- (- x y) z)
有两个函数 1+ 与 1- ，分别将参数加 1 与减 1 后返回。 1- 有一点误导，因为 (1- x) 返回 x-1 而不是 1-x 。
宏 incf 及 decf 分别递增与递减数字。这样形式的表达式 (incf x n) 类似于 (setf x (+ x n)) 的效果，而 (decf x n) 类似于 (setf x (- x n)) 的效果。这两个形式里，第二个参数皆是选择性给入的，缺省值为 1 。
用来做乘法的函数是 * 。接受任何数量的参数。没有参数时返回 1 。否则返回参数的乘积。
除法函数 / 至少要给一个参数。这样形式的调用 (/ n) 等同于 (/ 1 n) ，
> (/ 3)
1/3
而这样形式的调用
(/ x y z)
等同于
(/ (/ x y) z)
注意 - 与 / 两者在这方面的相似性。
当给定两个整数时， / 若第一个不是第二个的倍数时，会返回一个比值:
> (/ 365 12)
365/12
举例来说，如果你试着找出平均每一个月有多长，可能会有解释器在逗你玩的感觉。在这个情况下，你需要的是，对比值调用 float，而不是对两个整数做 / 。
> (float 365/12)
30.416666
9.5 指数 (Exponentiation)
要找到 xn 调用 (expt x n) ，
> (expt 2 5)
32
而要找到 lognx 调用 (log x n) :
> (log 32 2)
5.0
通常返回一个浮点数。
要找到 ex 有一个特别的函数 exp ，
> (exp 2)
7.389056
而要找到自然对数，你可以使用 log 就好，因为第二个参数缺省为 e :
> (log 7.389056)
2.0
要找到立方根，你可以调用 expt 用一个比值作为第二个参数，
> (expt 27 1/3)
3.0
但要找到平方根，函数 sqrt 会比较快:
> (sqrt 4)
2.0
9.6 三角函数 (Trigometric Functions)
常量 pi 是 π 的浮点表示法。它的精度取决于各家实现。函数 sin 、 cos 及 tan 分别可以找到正弦、余弦及正交函数，其中角度以径度表示：
> (let ((x (/ pi 4)))
(list (sin x) (cos x) (tan x)))
(0.7071067811865475d0 0.7071067811865476d0 1.0d0)
;;; 译注: CCL 1.8 SBCL 1.0.55 下的结果是
;;; (0.7071067811865475D0 0.7071067811865476D0 0.9999999999999999D0)
这些函数都接受负数及复数参数。
函数 asin 、 acos 及 atan 实现了正弦、余弦及正交的反函数。参数介于 -1 与 1 之间（包含）时， asin 与 acos 返回实数。
双曲正弦、双曲余弦及双曲正交分别由 sinh 、 cosh 及 tanh 实现。它们的反函数同样为 asinh 、 acosh 以及 atanh 。
9.7 表示法 (Representations)
Common Lisp 没有限制整数的大小。可以塞进一个字（word）内存的小整数称为定长数(fixnums)。在计算过程中，整数无法塞入一个字时，Lisp 切换至使用多个字的表示法（一个大数 「bignum」）。所以整数的大小限制取决于实体内存，而不是语言。
常量 most-positive-fixnum 与 most-negative-fixnum 表示一个实现不使用大数所可表示的最大与最小的数字大小。在很多实现里，它们为：
> (values most-positive-fixnum most-negative-fixnum)
536870911
-536870912
;;; 译注: CCL 1.8 的结果为
1152921504606846975
-1152921504606846976
;;; SBCL 1.0.55 的结果为
4611686018427387903
-4611686018427387904
谓词 typep 接受一个参数及一个类型名称，并返回指定类型的参数。所以，
> (typep 1 'fixnum)
T
> (type (1+ most-positive-fixnum) 'bignum)
T
浮点数的数值限制是取决于各家实现的。 Common Lisp 提供了至多四种类型的浮点数：短浮点 short-float 、 单浮点 single-float 、双浮点 double-float 以及长浮点 long-float 。Common Lisp 的实现是不需要用不同的格式来表示这四种类型（很少有实现这么干）。
一般来说，短浮点应可塞入一个字，单浮点与双浮点提供普遍的单精度与双精度浮点数的概念，而长浮点，如果想要的话，可以是很大的数。但实现可以不对这四种类型做区别，也是完全没有问题的。
你可以指定你想要何种格式的浮点数，当数字是用科学表示法时，可以通过将 e 替换为 sfdl 来得到不同的浮点数。（你也可以使用大写，这对长浮点来说是个好主意，因为 l 看起来太像 1 了。）所以要表示最大的 1.0 你可以写 1L0 。
（译注: s 为短浮点、 f 为单浮点、 d 为双浮点、 l 为长浮点。）
在给定的实现里，用十六个全局常量标明了每个格式的限制。它们的名字是这种形式: m-s-f ，其中 m 是 most 或 least ， s 是positive 或 negative ，而 f 是四种浮点数之一。 λ
浮点数下溢（underflow）与溢出（overflow），都会被 Common Lisp 视为错误 :
> (* most-positive-long-float 10)
Error: floating-point-overflow
9.8 范例：追踪光线 (Example: Ray-Tracing)
作为一个数值应用的范例，本节示范了如何撰写一个光线追踪器 (ray-tracer)。光线追踪是一个高级的 (deluxe)渲染算法: 它产生出逼真的图像，但需要花点时间。
要产生一个 3D 的图像，我们至少需要定义四件事: 一个观测点 (eye)、一个或多个光源、一个由一个或多个平面所组成的模拟世界 (simulated world)，以及一个作为通往这个世界的窗户的平面 (图像平面「image plane」)。我们产生出的是模拟世界投影在图像平面区域的图像。
光线追踪独特的地方在于，我们如何找到这个投影: 我们一个一个像素地沿着图像平面走，追踪回到模拟世界里的光线。这个方法带来三个主要的优势: 它让我们容易得到现实世界的光学效应 (optical effect)，如透明度 (transparency)、反射光 (reflected light)以及产生阴影 (cast shadows)；它让我们可以直接用任何我们想要的几何的物体，来定义出模拟的世界，而不需要用多边形 (polygons)来建构它们；以及它很简单实现。
(defun sq (x) (* x x))
(defun mag (x y z)
(sqrt (+ (sq x) (sq y) (sq z))))
(defun unit-vector (x y z)
(let ((d (mag x y z)))
(values (/ x d) (/ y d) (/ z d))))
(defstruct (point (:conc-name nil))
x y z)
(defun distance (p1 p2)
(mag (- (x p1) (x p2))
(- (y p1) (y p2))
(- (z p1) (z p2))))
(defun minroot (a b c)
(if (zerop a)
(/ (- c) b)
(let ((disc (- (sq b) (* 4 a c))))
(unless (minusp disc)
(let ((discrt (sqrt disc)))
(min (/ (+ (- b) discrt) (* 2 a))
(/ (- (- b) discrt) (* 2 a))))))))
图 9.2 实用数学函数
图 9.2 包含了我们在光线追踪器里会需要用到的一些实用数学函数。第一个 sq ，返回其参数的平方。下一个 mag ，返回一个给定 x``yz 所组成向量的大小 (magnitude)。这个函数被接下来两个函数用到。我们在 unit-vector 用到了，此函数返回三个数值，来表示与单位向量有着同样方向的向量，其中向量是由 xyz 所组成的:
> (multiple-value-call #'mag (unit-vector 23 12 47))
1.0
我们在 distance 也用到了 mag ，它返回三维空间中，两点的距离。（定义 point 结构来有一个 nil 的 conc-name 意味着栏位存取的函数会有跟栏位一样的名字: 举例来说， x 而不是 point-x 。)
最后 minroot 接受三个实数， a , b 与 c ，并返回满足等式 ax2+bx+c=0 的最小实数 x 。当 a 不为 0 时，这个等式的根由下面这个熟悉的式子给出:
x=−b±b2−4ac−−−−−−−√2a
图 9.3 包含了定义一个最小光线追踪器的代码。 它产生通过单一光源照射的黑白图像，与观测点 (eye)处于同个位置。 (结果看起来像是闪光摄影术 (flash photography)拍出来的)
surface 结构用来表示模拟世界中的物体。更精确的说，它会被 included 至定义具体类型物体的结构里，像是球体 (spheres)。surface 结构本身只包含一个栏位: 一个 color 范围从 0 (黑色) 至 1 (白色)。
(defstruct surface color)
(defparameter *world* nil)
(defconstant eye (make-point :x 0 :y 0 :z 200))
(defun tracer (pathname &optional (res 1))
(with-open-file (p pathname :direction :output)
(format p "P2 ~A ~A 255" (* res 100) (* res 100))
(let ((inc (/ res)))
(do ((y -50 (+ y inc)))
((< (- 50 y) inc))
(do ((x -50 (+ x inc)))
((< (- 50 x) inc))
(print (color-at x y) p))))))
(defun color-at (x y)
(multiple-value-bind (xr yr zr)
(unit-vector (- x (x eye))
(- y (y eye))
(- 0 (z eye)))
(round (* (sendray eye xr yr zr) 255))))
(defun sendray (pt xr yr zr)
(multiple-value-bind (s int) (first-hit pt xr yr zr)
(if s
(* (lambert s int xr yr zr) (surface-color s))
0)))
(defun first-hit (pt xr yr zr)
(let (surface hit dist)
(dolist (s *world*)
(let ((h (intersect s pt xr yr zr)))
(when h
(let ((d (distance h pt)))
(when (or (null dist) (< d dist))
(setf surface s hit h dist d))))))
(values surface hit)))
(defun lambert (s int xr yr zr)
(multiple-value-bind (xn yn zn) (normal s int)
(max 0 (+ (* xr xn) (* yr yn) (* zr zn)))))
图 9.3 光线追踪。
图像平面会是由 x 轴与 y 轴所定义的平面。观测者 (eye) 会在 z 轴，距离原点 200 个单位。所以要在图像平面可以被看到，插入至*worlds* 的表面 (一开始为 nil)会有着负的 z 座标。图 9.4 说明了一个光线穿过图像平面上的一点，并击中一个球体。
../_images/Figure-9.4.png
图 9.4: 追踪光线。
函数 tracer 接受一个路径名称，并写入一张图片至对应的文件。图片文件会用一种简单的 ASCII 称作 PGM 的格式写入。默认情况下，图像会是 100x100 。我们 PGM 文件的标头 (headers) 会由标签 P2 组成，伴随着指定图片宽度 (breadth)与高度 (height)的整数，初始为 100，单位为 pixel，以及可能的最大值 (255)。文件剩余的部份会由 10000 个介于 0 (黑)与 1 (白)整数组成，代表着 100 条 100 像素的水平线。
图片的解析度可以通过给入明确的 res 来调整。举例来说，如果 res 是 2 ，则同样的图像会被渲染成 200x200 。
图片是一个在图像平面 100x100 的正方形。每一个像素代表着穿过图像平面抵达观测点的光的数量。要找到每个像素光的数量，tracer 调用 color-at 。这个函数找到从观测点至该点的向量，并调用 sendray 来追踪这个向量回到模拟世界的轨迹； sandray 会返回一个数值介于 0 与 1 之间的亮度 (intensity)，之后会缩放成一个 0 至 255 的整数来显示。
要决定一个光线的亮度， sendray 需要找到光是从哪个物体所反射的。要办到这件事，我们调用 first-hit ，此函数研究在*world* 里的所有平面，并返回光线最先抵达的平面（如果有的话）。如果光没有击中任何东西， sendray 仅返回背景颜色，按惯例是 0 (黑色)。如果光线有击中某物的话，我们需要找出在光击中时，有多少数量的光照在该平面。
朗伯定律 告诉我们，由平面上一点所反射的光的强度，正比于该点的单位法向量 (unit normal vector) N (这里是与平面垂直且长度为一的向量)与该点至光源的单位向量 L 的点积 (dot-product):
i=N⋅L
如果光刚好照到这点， N 与 L 会重合 (coincident)，则点积会是最大值， 1 。如果将在这时候将平面朝光转 90 度，则 N 与 L 会垂直，则两者点积会是 0 。如果光在平面后面，则点积会是负数。
在我们的程序里，我们假设光源在观测点 (eye)，所以 lambert 使用了这个规则来找到平面上某点的亮度 (illumination)，返回我们追踪的光的单位向量与法向量的点积。
在 sendray 这个值会乘上平面的颜色 (即便是有好的照明，一个暗的平面还是暗的)来决定该点之后总体亮度。
为了简单起见，我们在模拟世界里会只有一种物体，球体。图 9.5 包含了与球体有关的代码。球体结构包含了 surface ，所以一个球体会有一种颜色以及 center 和 radius 。调用 defsphere 添加一个新球体至世界里。
(defstruct (sphere (:include surface))
radius center)
(defun defsphere (x y z r c)
(let ((s (make-sphere
:radius r
:center (make-point :x x :y y :z z)
:color c)))
(push s *world*)
s))
(defun intersect (s pt xr yr zr)
(funcall (typecase s (sphere #'sphere-intersect))
s pt xr yr zr))
(defun sphere-intersect (s pt xr yr zr)
(let* ((c (sphere-center s))
(n (minroot (+ (sq xr) (sq yr) (sq zr))
(* 2 (+ (* (- (x pt) (x c)) xr)
(* (- (y pt) (y c)) yr)
(* (- (z pt) (z c)) zr)))
(+ (sq (- (x pt) (x c)))
(sq (- (y pt) (y c)))
(sq (- (z pt) (z c)))
(- (sq (sphere-radius s)))))))
(if n
(make-point :x (+ (x pt) (* n xr))
:y (+ (y pt) (* n yr))
:z (+ (z pt) (* n zr))))))
(defun normal (s pt)
(funcall (typecase s (sphere #'sphere-normal))
s pt))
(defun sphere-normal (s pt)
(let ((c (sphere-center s)))
(unit-vector (- (x c) (x pt))
(- (y c) (y pt))
(- (z c) (z pt)))))
图 9.5 球体。
函数 intersect 判断与何种平面有关，并调用对应的函数。在此时只有一种， sphere-intersect ，但 intersect 是写成可以容易扩展处理别种物体。
我们要怎么找到一束光与一个球体的交点 (intersection)呢？光线是表示成点 p=⟨x0,y0,x0⟩ 以及单位向量 v=⟨xr,yr,xr⟩ 。每个在光上的点可以表示为 p+nv ，对于某个 n ── 即 ⟨x0+nxr,y0+nyr,z0+nzr⟩ 。光击中球体的点的距离至中心 ⟨xc,yc,zc⟩ 会等于球体的半径 r 。所以在下列这个交点的方程序会成立:
r=(x0+nxr−xc)2+(y0+nyr−yc)2+(z0+nzr−zc)2−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−√
这会给出
an2+bn+c=0
其中
a=x2r+y2r+z2rb=2((x0−xc)xr+(y0−yc)yr+(z0−zc)zr)c=(x0−xc)2+(y0−yc)2+(z0−zc)2−r2
要找到交点我们只需要找到这个二次方程序的根。它可能是零、一个或两个实数根。没有根代表光没有击中球体；一个根代表光与球体交于一点 (擦过 「grazing hit」)；两个根代表光与球体交于两点 (一点交于进入时、一点交于离开时)。在最后一个情况里，我们想要两个根之中较小的那个； n 与光离开观测点的距离成正比，所以先击中的会是较小的 n 。所以我们调用 minroot 。如果有一个根， sphere-intersect 返回代表该点的 ⟨x0+nxr,y0+nyr,z0+nzr⟩ 。
图 9.5 的另外两个函数， normal 与 sphere-normal 类比于 intersect 与 sphere-intersect 。要找到垂直于球体很简单 ── 不过是从该点至球体中心的向量而已。
图 9.6 示范了我们如何产生图片； ray-test 定义了 38 个球体（不全都看的见）然后产生一张图片，叫做 “sphere.pgm” 。
(译注：PGM 可移植灰度图格式，更多信息参见 wiki )
(defun ray-test (&optional (res 1))
(setf *world* nil)
(defsphere 0 -300 -1200 200 .8)
(defsphere -80 -150 -1200 200 .7)
(defsphere 70 -100 -1200 200 .9)
(do ((x -2 (1+ x)))
((> x 2))
(do ((z 2 (1+ z)))
((> z 7))
(defsphere (* x 200) 300 (* z -400) 40 .75)))
(tracer (make-pathname :name "spheres.pgm") res))
图 9.6 使用光线追踪器
图 9.7 是产生出来的图片，其中 res 参数为 10。
../_images/Figure-9.7.png
图 9.7: 追踪光线的图
一个实际的光线追踪器可以产生更复杂的图片，因为它会考虑更多，我们只考虑了单一光源至平面某一点。可能会有多个光源，每一个有不同的强度。它们通常不会在观测点，在这个情况程序需要检查至光源的向量是否与其他平面相交，这会在第一个相交的平面上产生阴影。将光源放置于观测点让我们不需要考虑这麽复杂的情况，因为我们看不见在阴影中的任何点。
一个实际的光线追踪器不仅追踪光第一个击中的平面，也会加入其它平面的反射光。一个实际的光线追踪器会是有颜色的，并可以模型化出透明或是闪耀的平面。但基本的算法会与图 9.3 所演示的差不多，而许多改进只需要递回的使用同样的成分。
一个实际的光线追踪器可以是高度优化的。这里给出的程序为了精简写成，甚至没有如 Lisp 程序员会最佳化的那样，就仅是一个光线追踪器而已。仅加入类型与行内宣告 (13.3 节)就可以让它变得两倍以上快。
Chapter 9 总结 (Summary)
Common Lisp 提供整数 (integers)、比值 (ratios)、浮点数 (floating-point numbers)以及复数 (complex numbers)。
数字可以被约分或转换 (converted)，而它们的位数 (components)可以被取出。
用来比较数字的谓词可以接受任意数量的参数，以及比较下一数对 (successive pairs) ── /= 函数除外，它是用来比较所有的数对 (pairs)。
Common Lisp 几乎提供你在低阶科学计算机可以看到的数值函数。同样的函数普遍可应用在多种类型的数字上。
Fixnum 是小至可以塞入一个字 (word)的整数。它们在必要时会悄悄但花费昂贵地转成大数 (bignum)。Common Lisp 提供最多四种浮点数。每一个浮点表示法的限制是实现相关的 (implementation-dependent)常量。
一个光线追踪器 (ray-tracer)通过追踪光线来产生图像，使得每一像素回到模拟的世界。
Chapter 9 练习 (Exercises)
定义一个函数，接受一个实数列表，若且唯若 (iff)它们是非递减 (nondecreasing)顺序时返回真。
定义一个函数，接受一个整数 cents 并返回四个值，将数字用 25- , 10- , 5- , 1- 来显示，使用最少数量的硬币。(译注: 25- 是 25 美分，以此类推)
一个遥远的星球住着两种生物， wigglies 与 wobblies 。 Wigglies 与 wobblies 唱歌一样厉害。每年都有一个比赛来选出十大最佳歌手。下面是过去十年的结果:
YEAR 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
WIGGLIES 6 5 6 4 5 5 4 5 6 5
WOBBLIES 4 5 4 6 5 5 6 5 4 5
写一个程序来模拟这样的比赛。你的结果实际上有建议委员会每年选出 10 个最佳歌手吗？
定义一个函数，接受 8 个表示二维空间中两个线段端点的实数，若线段没有相交，则返回假，或返回两个值表示相交点的 x 座标与 y 座标。
假设 f 是一个接受一个 (实数) 参数的函数，而 min 与 max 是有着不同正负号的非零实数，使得 f 对于参数 i 有一个根 (返回零)并满足 min < i < max 。定义一个函数，接受四个参数， f , min , max 以及 epsilon ，并返回一个 i 的近似值，准确至正负 epsilon 之内。
Honer’s method 是一个有效率求出多项式的技巧。要找到 ax3+bx2+cx+d 你对 x(x(ax+b)+c)+d 求值。定义一个函数，接受一个或多个参数 ── x 的值伴随着 n 个实数，用来表示 (n-1) 次方的多项式的系数 ── 并用 Honer’s method 计算出多项式的值。
译注: Honer’s method on wiki
你的 Common Lisp 实现使用了几个位元来表示定长数？
你的 Common Lisp 实现提供几种不同的浮点数？
脚注
[1] | 当 format 取整显示时，它不保证会取成偶数或奇数。见 125 页 (译注: 7.4 节)。
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